オプションの計算方法

オプション・プレミアム（値段）の計算方法。。。
将来価値を計算する方法は、不動産のCF計算にも似ているね。。。

オプション・プレミアム（値段）をきちんと計算するのは、かなり大変な作
業であるため、“プライサー”とよばれるソフトウェアを使いコンピュータで計
算するのが一般的です。プライサーは、オプションタイプ、満期日、権利行使
価格、金利、ボラティリティ、現在の株価などの入力に対して、プレミアムや
その他さまざまな数値（リスクパラメター）を出力します。
今回は、オプションの計算ではよく用いられる“2 項モデル”とよばれる方法
によって、コール・オプションのプレミアムについて考えてみましょう。少し
難しいかもしれませんが、ここではその流れと考え方を追っていただくことで
十分です。計算の過程で、ボラティリティが深くかかわってきていることを納
得していただけると思います。
いま、年率 32％のボラティリティを持つある株の株価が 100 円であるとしま
す。明日この株を 99 円で買う権利、つまり満期日まで 1 日、権利行使価格 99
円の（ヨーロピアン）コールのプレミアムはいくらになるでしょうか？ 話を
簡単にするために、金利を単利で日歩 1％として計算してみましょう。
年率 32％のボラティリティですから、1 日あたりのそれは 32％÷16＝2％で、
株価 100 円に対しては 2 円程度の上下変動を仮定できます。そこで、明日の株
価の終値は
ケースＵ：確率Ｐで 100＋2＝102（円）
ケースＤ：確率 1－Ｐで 100－2＝98（円）
のどちらかが起こるとしましょう。このときの、明日の株価の期待値（＝平均
値＝[値×確率]の総和）は、
Ｐ×102＋(1－Ｐ)×98＝4Ｐ＋98（円）
です。
一方、日歩 1％の金利で金を借りて、株価 100 円の株を今日買うとしたら、明
日の株価は、1 日分の金利が加算されて、
100×(1＋0.01)＝101（円）
となることが期待されます。したがって、
4Ｐ＋98＝101
が成り立つことが期待でき、これよりＰを求めれば、Ｐ＝0.75 がわかります。
確率Ｐの値がわかったので明日の株価についての 2 つのケースはそれぞれ、
ケースＵ：確率 0.75 で 102 円
ケースＤ：確率 0.25 で 98 円
となります。
ケースＵが起こった場合、権利行使価格 99 円より 3 円高い株価になっている
（イン･ザ･マネー）わけですから、99 円で権利行使して 102 円で売却すること
で 3 円の利益が出ます。一方、ケースＤでは、権利行使価格より低い株価です
から、権利行使は意味がなく、このコールも価値がありません（アウト･オブ･
ザ･マネー）。したがって、それぞれのケースについて、明日の時点でのコール
の価値は、
ケースＵ：確率 0.75 で 3 円（イン･ザ･マネー）
ケースＤ：確率 0.25 で 0 円（アウト･オブ･ザ･マネー）
となり、期待値（平均値）をとると
0.75×3＋0.25×0＝2.25（円）
しかし、これは明日の時点での価値です。今日の時点での価値は金利 1％の分だ
け下がります（明日の 101 円は今日の 100 円に等しい）。つまり、
2.25÷(1+0.01)＝2.2277（円）
これがコールのプレミアム（値段）です。計算では、金利（日歩 1％）とボラテ
ィリティ（年率 32％）が重要な働きをしている点に注意してください。
もう一歩深く考えましょう。同じ仮定で満期日まで 2 日あるとしたらどうな
るでしょう？ さきほどの例よりもう 1 日多いのですから、1 日目で株価 102 円
になるケースＵの場合が、2 日目に、さらに次のように 2 つに分かれます。
ケースＵＵ：確率 0.75×0.75 で 104 円（2 日目も 2 円上がる）
ケースＵＤ：確率 0.75×0.25 で 100 円（2 日目は 2 円下がる）
同様に 1 日目で株価 98 円になるケースＤの場合も、2 日目には次のように 2 つ
に分かれます。
ケースＤＵ：確率 0.25×0.75 で 100 円（2 日目は 2 円上がる）
ケースＤＤ：確率 0.25×0.25 で 96 円 （2 日目も 2 円下がる）
それぞれのケースについて株価と権利行使価格（99 円）とを比べると、2 日後
の時点でのコールの価値は
ケースＵＵ：確率 0.75×0.75 で 5 円（イン･ザ･マネー）
ケースＵＤ：確率 0.75×0.25 で 1 円（イン･ザ･マネー）
ケースＤＵ：確率 0.25×0.75 で 1 円（イン･ザ･マネー）
ケースＤＤ：確率 0.25×0.25 で 0 円（アウト･オブ･ザ･マネー）
これら 4 つの場合の期待値をとって、
0.75×0.75×5＋0.75×0.25×1＋0.25×0.75×1＋0.25×0.25×0＝3.1875
これを今日時点での現在価値に（2 日分）割り引いて、コールプレミアム
3.1875÷(1＋0.01×2)＝3.1250（円）
を得ます。満期日まで 1 日のプレミアム（＝2.2277 円）より高いですね。一般
的に、“満期日まで長いオプションの方が、そのプレミアムが高くなる”のです。
さらに、ボラティリティのプレミアムへのかかわり方について、もう少しだ
け考えてみましょう。同じ例で、ボラティリティが 32％でなく 2 倍の 64％であ
ったとしたら、1 日あたりのボラティリティは 64％÷16＝4％とみなされ、一日
の株価の変動が上下 4 円となります。したがって、さきほどの 4 つのケースは
それぞれ、
ケースＵＵ：確率 0.75×0.75 で 9 円（イン･ザ･マネー）
ケースＵＤ：確率 0.75×0.25 で 1 円（イン･ザ･マネー）
ケースＤＵ：確率 0.25×0.75 で 1 円（イン･ザ･マネー）
ケースＤＤ：確率 0.25×0.25 で 0 円（アウト･オブ･ザ･マネー）
と変化します。これより、プレミアムは
0.75×0.75×9＋0.75×0.25×1＋0.25×0.75×1＋0.25×0.25×0＝5.4375
5.4375÷(1＋0.01×2)＝5.3309（円）
と計算されます。
この結果は、“ボラティリティが上がるとオプションの価値も上がる”ことを
示しています。オプションをある値段で買う、ということは、その値段に含ま
れているボラティリティ（これを“インプライド・ボラティリティ”という）
を低いとみなし、それよりも高いボラティリティを今後の市場に仮定している、
ということに他なりません。つまり、対象の証券は、将来はもっと変動すると
考えている、ということなのです。